Teorema Faktor

Secara umum teorema faktor berbunyi: “Jika G(x) adalah faktor dari polinom F(x), maka F(x) dibagi G(x) mendapatkan sisa nol,

Secara khusus jika (x – k) adalah faktor linier dari polinom F(x) maka F(k) = 0. dan x = k adalah salah satu akar akar persamaan F(x) = 0

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh berikut ini
01. Buktikanlah bahwa (x + 3) adalah faktor dari x³ + x² – 9x – 9
Jawab
Jika (x + 3) adalah factor dari F(x) = x³ + x² – 9x – 9, maka F(–3) = 0
Uji :
F(–3) = (–3)x³ + (–3)² – 9(–3) – 9
F(–3) = –27 + 9 + 27 – 9
F(–3) = 0
Terbukti bahwa (x + 3) adalah faktor dari x³ + x² – 9x – 9

02. Tentukanlah faktor-faktor linier dari persamaan x⁴ – 4x³ – x² + 16x – 12 = 0
Jawab
Dengan menggunakan skema Horner diperoleh:

Faktor-faktornya : (x – 2), (x + 2), (x – 1) dan (x – 3)

03. Tentukanlah faktor-faktor linier dari persamaan x⁴ – x³ – x² + 4x – 12 = 0
Jawab

Karena hasil bagi Horner terakhir,yakni x² – x + 3 tidak dapat difaktorkan lagi, maka faktor-faktor linier dari persamaan x⁴ – x³ – x² + 4x – 12 = 0 adalah (x – 2) dan (x + 2)

04. Tentukanlah faktor-faktor linier dari persamaan 2x³ – x² – 18x + 9 = 0
Jawab

Faktor-faktor liniernya : (x – 2), (x + 3) dan (2x – 1)


Jika x1 , x2 , x3 , … dan xn adalah nilai-nilai x yang memenuhi persamaan polinom anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 maka x1 , x2 , x3 , … dan xn dinamakan akar-akar polinom tersebut. Adapun rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan suatu polinom dapat diturunkan sebagai berikut:

Sebagai ilustrasi:


Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut ini:
05. Tentukanlah jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan polinom 2x³ – 5x² + 4x – 6 = 0
jawab

06. Diketahui persamaan polinom berderajat empat ax⁴ + 6x³ – 5x² + x + 9 = 0. Jika x1 + x2 + x3 + x4 = –2 maka tentukanlah nilai x1 . x2 . x3 . x4 !
Jawab

07. Salah satu akar dari persamaan 2x³ + 3x² + 7x + 3p = 0 adalah –1. Tentukanlah hasil kali dua akar yang lain !
Jawab