Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

1. Diskriminan

Pada pembahasan sebelumnya, telah diuraikan tentuang cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 yakni dengan rumus kudrat, yaitu:

Dari rumus diatas terlihat bahwa akar-akar suatu persamaan kuadrat sangat dipengaruhi dari nilai b² – 4ac. Jika nilai ini negatif tentu saja akar-akarnya tidak dapat ditentukan (imajiner) dan jika nilai ini berbenentuk bilangan kuadrat maka akar-akarnya akan rasional, dan seterusnya

Nilai b² – 4ac dinamakan diskriminan dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.

Ditinjau dari diskriminan tersebut, maka persamaan kuadrat dapat dibagi menjadi tiga macam, yaitu :

D > 0 : Mempunyai dua akar real yang berlainan
Dimana untuk D bilangan kuadrat, maka akar-akarnya rasional dan untuk D bukan bilangan kuadrat, maka akar-akarnya irrasional

D = 0 : Mempunyai dua akar real yang sama

D < 0 : Mempunyai akar-akar imajiner (tidak nyata)

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

01. Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini:
(a). 2x² – 7x + 6 = 0
(b) x² – 6x + 12 = 0
(c) x² – 4x + 1 = 0
Jawab
(a). 2x² – 7x + 6 = 0
Uji : D = b² – 4ac
D = (–7)² – 4(2)(6)
D = 49 – 48
D = 1
Jadi akar-akar persamaan kuadrat di atas rasional berlainan

(b). x² – 6x + 12 = 0
Uji : D = b² – 4ac
D = (–6)² – 4(1)(12)
D = 36 – 48
D = –12
Jadi akar-akar persamaan kuadrat di atas imajiner (tidak nyata)

(c). x² – 4x – 1 = 0
Uji : D = b² – 4ac
D = (–4)² – 4(1)( –1)
D = 16 + 4
D = 20
Jadi akar-akar persamaan kuadrat di atas irrasional berlainan

02. Tentukanlah nilai p agar persamaan kuadrat berikut ini memiliki akar yang sama
(a) x² – px + 16 = 0
(b) (p + 3)x² – 4x + p = 0
Jawab

(a) x² – px + 16 = 0
Syarat : D = 0
b² – 4ac = 0
(–p)² – 4(1)(16) = 0
p² – 64 = 0
(p – 8)(p + 8) = 0
Jadi nilai p = 8 atau p = –8

(b) (p + 3)x² – 4x + p = 0
Syarat : D = 0
b² – 4ac = 0
(–4)² – 4(p + 3)(p) = 0
16 – 4p² – 12p = 0
–4p² – 12p + 16 = 0
p² + 3p – 4 = 0
(p + 4)(p – 1) = 0
Jadi nilai p = –4 atau p = 1

03. Tentukanlah batas-batas nilai m agar persamaan kuadrat berikut ini tidak memiliki akar yang nyata
(a) x² – 3x – 3m = 0
(b) (m + 1)x² + 2mx + (m – 2) = 0
Jawab

(a) x² – 3x – 3m = 0
Syarat : D < 0
b² – 4ac < 0
(–3)² – 4(1)(–3m) < 0
9 + 12m < 0
12m < –9
m < –9/12
m < –3/4

(b) (m + 1)x² + 2mx + (m – 2) = 0
Syarat : D < 0
b² – 4ac < 0
(2m)² – 4(m + 1)(m – 2) < 0
4m² – 4(m² – m – 2) < 0
4m² – 4m² – 4m – 8 < 0
–4m – 8 < 0
–4m < 8
m > –2

2. Hasil penjumlahan, pengurangan, dan hasil kali akar-akar persamaan Kuadrat

Suatu persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 , a ≠ 0 mempunyai akar akar x1 dan x2 , dimana x1 > x2 , maka berlaku:

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

01 Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan x² – 3x + 6 = 0 maka tentukanlah nilai

02 Jika salah satu akar dari persamaan x² – 10x + (k + 3) = 0 adalah empat kali akar yang lain, maka tentukanlah nilai k
Jawab

3. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Persamaan kuadrat dapat disusun dengan menggunakan perkalian faktor dan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya. Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar suatu persamaan kuadrat, dan misalkan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat adalah ( x1 + x2 ) dan (x1 . x2) maka persamaan kuadrat dapat dibentuk dengan formula sebagai berikut

x² − ( x1 + x2)x + (x1 . x2 ) = 0

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

01. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya –3 dan 4
Jawab
x² − ( x1 + x2 )x + (x1 . x2 ) = 0
x² − (–3 + 4)x + (–3)(4) = 0
x² − x – 12 = 0

02. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 – √5 dan 3 + √5
Jawab

03. Tentukanlah persamaan kuadarat yang akar-akarnya empat lebihnya dari akar-akar x² + 5x – 2 = 0
Jawab