Perkalian Skalar Dua Vektor

Misalkan a1, a2 dan a3 adalah bilangan-bilangan positip dan diketahui persamaan vektor a = a1i+ a2j + a3k, maka panjang vektor a secara geometris dapat digambarkan:

Dengan bantuan teorema Pythagoras dapat ditentukan panjang vektor a , yaitu:

Sedangkan untuk A(Ax, Ay, Az) dan B(Bx, By, Bz) maka panjang vektor AB dirumuskan

Sebagai contoh, misalkan vector a = 4 i – 5 j + 3 k , maka panjang vector a adalah

Sedangkan untuk titik A(-2, 4, -1) dan B(-5, 2, 5), maka panjang vektor AB didapat:

Jika a = a1i+ a2j + a3k dan b = b1i+ b2j + b3k maka perkalian skalar a dan b secara geometris didefinisikan:

Sebagai contoh diketahui dua vector a dan b seperti gambar berikut.

Sedangkan secara analitis perkalian skalar dua vektor a dan b didapat dengan cara:

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:
01. Diketahui dua vektor a dan b seperti gambar di bawah,

Tentukanlah nilai a . b
Jawab
Karena kedua pangkal vektor belum berimpit, maka kedua vektor digambar menjadi


02. Jika diketahui dua vektor a dan b dimana a = 6 cm dan b = 4 cm serta berlaku ( a + b ).( a + b ) = 16. Tentukanlah nilai a . b
Jawab


03. Jika diketahui vektor a dan b dimana a = 4 cm dan b = 5 cm serta <( a , b ) = 600 maka tentukanlah nilai |b - a|
Jawab


04. Diketahui dua vektor a = 3 i – 3 j + 5 k dan b = 4 i – 5 j + 3 k . Maka tentukanlah nilai a . b
Jawab
a . b = (3)(4) + (–3)( –5) + (5)(3)
a . b = 12 + 15 + 15
a . b = 42

05. Diketahui tiga titik A(4, -1, 2), B(5, 2, 5) dan C(-3, 4, 0). Tentukanlah nilai AB . AC
Jawab


06. Diketahui P(2, 2x, 0), Q(–1, 1, –7) dan R(3x, 3, x). Jika PQ . PR = –23 maka tentukanlah nilai x
Jawab



Jika a = a1i+ a2j + a3k dan b = b1i+ b2j + b3k maka sudut antara a dan b didapat dengan menurunkan rumus perkalian skalar dua vektor, yaitu:

Jika dan tegak lurus, maka sudut antara a dan b adalah 90^o sehingga:
Jadi jika vektor a tegak lurus vektor b maka  a . b = 0.

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
01. Diketahui vektor dan dimana |a| = 3 cm dan |b| = 4 cm. Jika a . b = –6 maka tentukanlah besar sudut antara a dan b
Jawab
a . b = cos α
–6 = (3)(4) cos α
–6 = 12 cos α
cos α = – ½
maka = 120^o

02. Diketahui tiga titik A(2, 1, 0), B(–1, –3, 5) dan C(2, 3, 2). Jika α adalah sudut antara AB dan AC maka tentukanlah nilai cos α
Jawab


03. Diketahui vektor

Jika a tegak lurus b maka tentukanlah nilai x
Jawab
Jika a vektor tegak b lurus vektor maka a . b = 0


04. Diketahui vektor a dan b dimana |a| = 6 cm dan |b| = 4 cm serta |a + b| = 8 cm. Jika α adalah sudut antara a dan b, maka tentukanlah nilai cos α
Jawab