Parabola

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya terhadap titik tertentu dan garis tertentu selalu sama. (karena e = 1)

Titik tersebut dinamakan fokus (F), dan garis tersebut dinamakan direktrik (d).
Terdapat dua macam bentuk parabola, yakni
1. Parabola horizontal
2. Parabola vertikal.

Secara lebih rinci, akan dijelaskan menjadi 4 bagian sebagai berikut. (Rangkuman rumus ada dipaling bawah)

1. Parabola Horizontal dengan Puncak O(0, 0)

Parabola ini mempunyai bentuk Umum:
y² = 4px,

dimana Koordinat titik fokusnya di F(p, 0)
persamaan direktrisnya x = –p
Sumbu simetrisya adalah sumbu-x
Panjang latus rectum LR = 4p
Dengan catatan:
Jika p > 0 maka kurva membuka ke kanan
Jika p < 0 kurva membuka ke kiri

2. Parabola Vertikal dengan Puncak O(0, 0)

Parabola ini mempunyai bentuk Umum:
x² = 4py

dimana Koordinat titik fokusnya di F(0, p)
Persamaan direktrisnya y = –p
Sumbu simetrisya adalah sumbu-y
Panjang latus rectum LR = 4p
Catatan :
Jika p > 0 maka kurva membuka ke atas
Jika p < 0 kurva membuka ke bawah

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini:

01. Tentukan titik fokus, garis direktis, dan latus rectum dari parabola 3y²-24x=0
Jawab:
Parabola Horizontal dengan Puncak O(0, 0)
3y² - 24x=0
3y² = 24x
y² = 8x
y² = 4px
4p = 8
p = 2
Titik focus adalah (p,0), sehingga titik fokusnya (2,0).
Garis direktris adalah garis x = -p, sehingga persamaan garis direktrisnya x = -2
Panjang Latus rectum adalah 4p, sehingga Panjang latus rectumnya adalah 8

02. Tentukan titik fokus, garis direktis, dan latus rectum dari parabola 2x²+32y=0
Jawab:
Parabola Vertikal dengan Puncak O(0, 0)
2x² + 32y = 0
2x² = -32y
x² = -16y
x² = 4py
4p = -16
p = -4
Titik focus adalah (0,p), sehingga titik fokusnya (0,-4).
Garis direktris adalah garis y = -p, sehingga persamaan garis direktrisnya y=4
Panjang Latus rectum adalah |4p|, sehingga Panjang latus rectumnya adalah 16

03. Sebuah parabola dengan puncak di O(0,0) dan fokus pada sumbu-X serta melalui titik (2,8). Tentukanlah persamaan parabola tersebut.
Jawab:
Parabola Horizontal dengan Puncak O(0, 0)
Sehingga, bentuk umum persamaannya y² = 4px
y² = 4px
8² = 4p (2)
64 = 8p
p = 8
Jadi persamaan parabola y² = 4px, sehingga persamaan parabola y² = 32x

04. Sebuah parabola dengan puncak di O(0,0) dan titik fokusnya di F(0,5). Tentukanlah persamaan parabola tersebut
Jawab:
Karena F(0,p) maka bentuk Parabola Vertikal dengan Puncak O(0, 0)
Sehingga, bentuk umum persamaannya x² = 4py
Karena titik fokusnya di F(0,5), maka p=5
Jadi persamaan parabola x² = 4py, sehingga persamaan parabola x² = 20y

3. Parabola Horizontal dengan Puncak M(a, b)

Bentuk Umum : (y – b)² = 4p(x – a),

dimana Koordinat fokusnya di F(p+ a, b)

Persamaan direktrisnya x = –p + a

Persamaan sumbu simetrisya y = b

Panjang latus rectum LR = 4p

Dengan catatan :

Jika p > 0 maka kurva membuka ke kanan

Jika p < 0 kurva membuka ke kiri

4. Parabola Vertikal dengan Puncak M(a, b)

Parabola ini mempunyai bentuk Umum : (x – a)² = 4p(y – b),

dimana Koordinat fokusnya di F(a, p + b)

Persamaan direktrisnya y = –p + b

Persamaan sumbu simetrisya x = a

Panjang latus rectum AB = 4p

Dengan cataran

Jika p > 0 maka kurva membuka ke atas

Jika p < 0 kurva membuka ke bawah

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini:

05. Tentukan titik puncak dari parabola y² + 2x – 6y + 11 = 0

Jawab

y² + 2x – 6y + 11 = 0

y² – 6y = –2x – 11

y² – 6y + 9 = –2x – 11 + 9

(y – 3)² = –2x – 2

(y – 3)² = –2(x + 1)

Berdasarkan persamaan, bentuk parabola Horizontal

Jadi titik pusatnya adalah (–1, 3)

06. Tentukan titik fokus dari parabola x² + 10x – 8y + 41 = 0

Jawab

x² + 10x – 8y + 41 = 0

x² + 10x = 8x – 41

x² + 10x + 25 = 8x – 41 + 25

(x + 5)² = 8x + 16

(x + 5)² = 8(x + 4)

Berdasarkan persamaan, bentuk parabola Vertikal

Sehingga a = –5 , b = –4 dan p = 2

Jadi titik fokusnya adalah F(a, p + b) = F(–5, –4 + 2) = F(–5, –2)

07. Diketahui parabola x² – 6x – 12y – 15 = 0. Persamaan sumbu simetrinya adalah …

Jawab

x² – 6x – 12y – 15 = 0

x² – 6x = 12y + 15

x² – 6x + 9 = 12y + 15 + 9

(x – 3)² = 12y + 24

(x – 3)² = 12(y + 2) , 

Berdasarkan persamaan, bentuk parabola Vertikal

sehingga a = 3 , b = –2 dan p = 3

Jadi Persamaan sumbu simetrinya adalah x = 3

08. Diketahui parabola (y – 4)² = 2(x – 3). Persamaan garis direktrisnya adalah …

Jawab

(y – 4)² = 2(x – 3)

Berdasarkan persamaan, bentuk parabola Horizontal

Maka a = 3 , b = 4 dan p = 1/2

Jadi Persamaan direktrisnya adalah x = –p + a

y = –1/2 + 3

y = 5/2

09. Sebuah parabola dengan puncak di (3, –2) dan fokus di (4, –2). Tentukanlah persamaan parabola tersebut

Jawab

Berdasarkan puncak dan fokusnya, bentuk parabola Horizontal

Bentuk Umum : (y – b)² = 4p(x – a)

Puncak di (3, –2), maka a = 3 dan b = –2

Fokus F(p + a, b) = F(p + 3, –2) = F(4, –2) 

maka 

p + 3 = 4

p = 1

Jadi persamaan parabola : 

(y + 2)² = 4(1)(x – 3)

y² + 4y + 4 = 4x – 12

y² – 4x + 4y + 4 + 12 = 0

y² – 4x + 4y + 16 = 0

10. Tentukanlah Persamaan parabola yang berpuncak di (4, 3), mempunyai sumbu simetri x = 4 dan panjang latus rectum 8

Jawab

Berdasarkan puncak dan sumbu simetri, bentuk parabola Vertikal

Bentuk Umum : (x – a)² = 4p(y – b)

Puncak di (4, 3), maka a = 4 dan b = 3

Panjang latus rectum = 8 = 4p maka p = 2

Jadi persamaan parabola : 

(x – 4)² = 4(2)(y – 3)

x² – 8x + 16 = 8y – 24

x² – 8x – 8y + 16 + 24 = 0

x² – 8x – 8y + 40 = 0

RANGKUMAN