Operasi Pembagian Pada Polinomial

Pembagian polinom pada prinsipnya bersesuaian dengan pembagian pada bilangan. Sebagai contoh akan kita lakukan pembagian 623 dengan 3 sebagai berikut:

Pembagian dengan cara diatas dinamakan metoda bersusun. Untuk pembagian polinom, prosesnya memenuhi juga aturan bersusun diatas.

Sebagai contoh akan dilakukan pembagian bentuk polinom (2x³ – 5x² + 4x + 3) dengan (x – 3) sebagai berikut:

Dalam hal ini :
x – 3 dinamakan pembagi
2x³ – 5x² + 4x + 3 dinamakan yang dibagi
2x² + x + 7 dinamakan hasil bagi
24 dinamakan sisa pembagian
Sehingga berlaku : 2x³ – 5x² + 4x + 3 = (x – 3)( 2x² + x + 7) + 24

Sehingga secara umum sifat dari pembagian polinom memenuhi aturan:

Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

Selain dengan metoda bersusun, pembagian polinom dapat juga dilakukan dengan skema Horner. Sebagai contoh akan dilakukan kembali pembagian bentuk polinom (2x³ – 5x² + 4x + 3) dengan (x – 3) menggunakan metoda Horner sebagai berikut:

Sehingga didapatkan Hasil Bagi = 2x² + 1x + 7 dan sisa = 24
Selanjutnya, penggunaan metoda Horner ini mengharuskan pembagi dikelompok- kan sebagai berikut:

a. Pembagian polinom dengan (x – k)
Jika polinom F(x) dibagi (x – k) akan memperoleh hasil bagi H(x) dan sisa s maka dalam hal ini berlaku sifat :
F(x) = (x – k)H(x) + s
Untuk x = k memenuhi
F(k) = (k – k)H(k) + s
F(k) = (0) + s
F(k) = s
Jadi Menurut Teorema Horner : Hasil bagi = H(x)
Sisa pembagian = F(k)

b. Pembagian polinom dengan (ax – b)


c. Pembagian polinom dengan (x – x1)(x – x2)
Jika polinom F(x) dibagi dengan (x – x1)(x – x2) akan menghasilkan hasil bagi dan sisa pembagian dengan dua kali tahapan Horner (Horner tingkat dua). Pada tingkat pertama F(x) dibagi dengan (x – x1) menghasilkan hasil bagi H1(x) dan sisa s1. Kemudian pada tingkat kedua hasil bagi H1(x) dibagi lagi dengan (x – x2) menghasilkan hasil bagi H2(x) dan sisa s2. Prosesnya adalah sebagai berikut :
F(x) = (x – x1)H1(x) + s1
F(x) = (x – x1) [(x – x2) H2(x) + s2 ] + s1
F(x) = (x – x1)(x – x2) H2(x) + (x – x1)s2 + s1
Bentuk terakhir ini menunjukkan polinom F(x) dibagi dengan (x – x1)(x – x2) akan menghasilkan : Hasil bagi = H2(x)
Sisa pembagian = (x – x1)s2 + s1

d. Pembagian polinom dengan ax² + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Merunut dari bentuk c di atas maka hasil bagi dan sisa dari pembagian polinom F(x) dengan ax² + bx + c = a(x – x1)(x – x2) didapat dari proses berikut:


Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut ini :
01. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari pembagian (x³ – 3x² – 5x – 3) : (x – 2) dengan metoda :
(a) Pembagian Bersusun
(b) Skema Horner
Jawab
(a) Dengan pembagian bersusun

Jadi : Hasil bagi = x² – x – 7
Sisa = –17

(b) Dengan skema Horner

Hasil Bagi = 1x² – 1x – 7 = x² – x – 7
Sisa = –17

02. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari (4x⁴ + 3x² – 2x + 5) : (2x – 1) dengan metoda :
(a) Pembagian Bersusun
(b) Skema Horner
Jawab
(a) Dengan pembagian bersusun


(b) Dengan skema Horner


03. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari (x³ – 2x² – 6x + 8) : (x² – 9) dengan metoda
(a) Pembagian Bersusun
(b) Skema Horner
Jawab
(a) Dengan pembagian bersusun

Jadi : Hasil bagi = x – 2
Sisa = 3x – 10

(b) Dengan skema Horner
Pembagi : x² – 9 = (x – 3)(x + 3)
                 x1 = 3 dan x2 = –3
sehingga

Hasil Bagi = x – 2
Sisa = (x – x1)s2 + s1
= (x – 3)3 + (–1)
= 3x – 9 – 1
= 3x – 10

04. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari pembagian (2x⁴ + 3x³ – 12x² – 13x + 5) : (2x² + 3x – 2) dengan metoda Skema Horner
Jawab


05. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian (4x⁴ + 8x³ – 5x² + 2x – 1) : (4x² – 1) dengan metoda Skema Horner
Jawab


06. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari (3x³ – 8x² + 15x – 6) : (x² – 2x + 5) dengan metoda pembagian Bersusun
Jawab