Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran

Jika diketahui lingkaran L adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dan terdapat titik M(x1, y1) diluar lingkaran L, maka kuasa titik M terhadap lingkaran L dirumuskan :
K(M) = (x1 – a)2 + (y1– b)2 – r2
Nilai kuasa ini menunjukkan kuadrat jarak dari titik M ke titik T.
Sedangkan untuk lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0, kuasa titik M( x1 , y1 ) dirumuskan K(M) = x12 + y12 + A x1 + B y1 + C

Jika M titik diluar lingkaran dan g adalah garis singgung lingkaran yang ditarik dari M serta T adalah adalah titik singgungnya, maka dirumuskan:

Untuk pemahaman lebih lanjut ikutilah contoh soal berikut ini :

01. Tentukanlah nilai kuasa titik A(–3, 2) terhadap lingkaran x2 + y2 – 10x + 6y + 18 = 0
Jawab
K(A) = x12 + y12 + A x1 + B y1 + C
K(A) = (–3)2 + (2)2 – 10(–3) + 6(2) + 18
K(A) = 9 + 4 + 30 + 12 + 18
K(A) = 73

02. Diketahui lingkaran berpusat di P(2, 4) dan berjari jari r. Jika kuasa lingkaran tersebut di titik A(6, –1) bernilai 16, maka tentukanlah persamaan lingkarannya
Jawab
K(A) = 16
( x1 – 2)2 + ( y1 – 4)2 – r2 = 16
(6 – 2)2 + (–1 – 4)2 – r2 = 16
16 + 25 – r2 = 16
r2 = 25
Persamaannya: 
(x – 2)2 + (y – 4)2 = 25
x2 – 4x + 4 + y2 – 8y + 16 = 25
x2 + y2 – 4x – 8y – 5 = 0

03. Diketahui lingkaran x2 + y2 – 10x + 6y + 18 = 0. Jika kuasa titik A (10, p) terhadap lingkaran tersebut adalah 34, maka nilai p = ….
Jawab
K(A) = 34 x12 + y12 – 10 x1 + 6 y1 + 18 = 34
(10)2 + (p)2 – 10(10) + 6(p) + 18 = 34
100 + p2 – 100 + 6p + 18 – 34 = 0
p2 + 6p – 16 = 0
(p + 8)(p – 6) = 0
Nilai p = –8 dan p = 6

Tiga kemungkinan kedudukan titik terhadap lingkaran L
1. Titik A(x, y) terletak di dalam lingkaran jika K(A) < ruas kanan
2. Titik B(x, y) terletak pada lingkaran jika K(B) = ruas kanan
3. Titik C(x, y) terletak di luar lingkaran jika K(C) > ruas kanan

Sebagai contoh diketahui lingkaran (x – 2)2 + (y + 4)2 = 40, maka
Titik P(5, 1) terletak di dalam lingkaran karena (5 – 2)2 + (1 + 4)2 =34 < 40
Titik P(8, -2) terletak tepat pada lingkaran karena (8 – 2)2 + (-2 + 4)2 = 40 = 40
Titik P(-3, 2) terletak di luar lingkaran karena (-3 – 2)2 + (2 + 4)2 = 61> 40

Untuk lingkaran x2 + y2 + 6x – 4y – 23 = 0, maka
Titik P(2, 5) terletak di dalam lingkaran karena 22 + 52 + 6.2 – 4.5 – 23 = – 2 < 0
Titik P(3, 2) terletak tepat pada lingkaran karena 32 + 22 + 6.3 – 4.2 – 23 = 0 = 0
Titik P(4, -1) terletak di luar lingkaran karena 42 + (-1)2 + 6.4 – 4(-1) – 23 = 16 > 0

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini:
04. Jika diketahui titik T(k, 3) terletak pada lingkaran x2 + y2– 13x + 5y + 6 = 0 maka tentukanlah nilai k
Jawab
x2 + y2 – 13x + 5y + 6 = 0
(k)2 + (3)2 – 13(k) + 5(3) + 6 = 0
k2 + 9 – 13k + 15 + 6 = 0
k2 – 13k + 12 = 0
(k – 12)(k – 1) = 0
Jadi nilai k = 12 dan k = 1

Jika M( x1 , y1 ) titik diluar lingkaran serta a dan b adalah garis singgung lingkaran yang ditarik dari M maka:
M dinamakan titik polar
g dinamakan garis polar

Contoh soal
08. Tentukan persamaan garis polar terhadap lingkaran x2 + y2 – 8x + 6y + 9 = 0. yang ditarik dari titik A (–2, 5)
Jawab
 

Kedudukan garis g terhadap lingkaran L ditentukan oleh nilai diskriminan D = b2 – 4ac, hasil dari substitusi persamaan lingkaran dan persamaan garis. Ketentuannya :
1. D > 0 garis g memotong lingkaran L di dua titik persekutuan
2. D = 0 garis g menyinggung lingkaran L di satu titik
3. D < 0 garis g di luar lingkaran L

Sebagai contoh kedudukan garis y = 3x – 2 terhadap lingkaran x2 + y2 – 8x – 2y + 15 = 0 adalah berpotongan didua titik, karena memenuhi aturan:
x2 + (3x – 2)2 – 8x – 2(3x – 2) + 15
= x2 + 9x2 – 12x + 4 – 8x – 6x + 4 + 15
= 10x2 + 4x – 16
= 5x2 + 2x – 8

Tinjau D = 22 – 4(5)(-8) = 164 > 0
Karena D > 0 maka garis y = 3x – 2 memotong lingkaran x2 + y2 – 8x – 2y + 15 = 0 di dua titik

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini:

10. Tentukanlah kedudukan garis y = x – 2 terhadap lingkaran (x – 3)2 + (y + 4)2 = 9
Jawab

11. Jika garis y = x + 9 menyinggung lingkaran x2 + y2 + 8x – 10y + 21 – p = 0 di satu titik maka tentukanlah nilai p
Jawab

12. Buktikan bahwa garis y = 2x + 1 memotong lingkaran x2 + y2 + 4x + 6y + 8 = 0 dan tentukanlah titik potongnya
Jawab


Komentar

Postingan populer dari blog ini

FARADILLA HAFIZHAH JUARA FAVORIT TINGKAT NASIONAL CABANG LOMBA MICROTEACHING PADA AJANG WALISONGO SCIENCE COMPETITION 2021

17 MAHASISWA JURUSAN TADRIS MATEMATIKA MENGIKUTI WISUDA EMAS IAIN BATUSANGKAR KE-50

Contoh Soal Latihan SIfat-Sifat Fungsi