Grafik Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) = ax² + bx + c = 0 dimana a, b, dan c adalah bilangan real dan a ≠ 0.

Grafik fungsi kuadat ini gambarnya berbentuk parabola. Untuk menggambarnya diperlukan langkah-langkah sebagai berikut :

(1) Menentukan titik potong dengan sumbu x ,
syaratnya y = 0
sehingga ax² + bx + c = 0
(x – x1)( x – x2) = 0
Titiknya (x1,0) dan (x2,0)

(2) Menentukan titik potong dengan sumbu y,
syaratnya x = 0 sehingga y = a(0)² + b(0) + c = c
Titiknya (0, c)

(3) Menentukan persamaan sumbu simetri, yakni : x = xp, dimana xp adalah titik tengah x1 dan x2. Sehingga persamaan sumbu simetri adalah:

Menentukan nilai ekstrim atau nilai maksimum/minimum fungsi, yakni yp Dimana yp = axp² + bxp + c, sehingga nilai maksimum/minimum fungsi adalah

Catatan: Jika a > 0 maka nilai minimum dan jika a < 0 maka nilai maksimum
(5) Menentukan titik balik fungsi (maksimum/minimum), yaitu

(6) Menggambar grafik fungsi

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

 01 Lukislah grafik fungsi f(x) = x² – 2x – 8
Jawab

Titik potong dengan sumbu-X, yakni
x² – 2x – 8 = 0
(x – 4)(x + 2) = 0
x1 = 4 dan x2 = –2
Titiknya (–2, 0) dan (4, 0)

Titiik potong dengan sumbu-Y, yakni
y = x² – 2x – 8
y = (0)² – 2(0) – 8 = –8 Titiknya (0, –8)

Titik balik minimumnya di P(1, –9)
Gambar grafiknya:

Fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c = 0 , a ≠ 0 dengan diskriminan D = b² – 4ac akan mempunyai sifat-sifat sebagai berikut :
(1) Memotong sumbu x di dua titik jika D > 0
(2) Menyinggung sumbu x jika D = 0
(3) Tidak memotong atau menyinggung sumbu x jiks D < 0
(4) Membuka ke atas jika a > 0
(5) Membuka ke bawah jika a < 0
(6) Seluruh fungsinya berada di atas sumbu x (definit positip) jika D < 0 dan a > 0
(7) Seluruh fungsinya berada di bawah sumbu x (definit negatip) jika D < 0 dan a < 0

 Terkadang suatu fungsi kuadrat dapat disusun jika diketahui beberapa unsurnya, yaitu
a. Jika fungsi kuadrat diketahui titik potong dengan sumbu x yaitu (x1 , 0) dan (x2 , 0) maka persamaannya adalah f(x) = a(x – x1)( x – x2)
b. Jika suatu fungsi kuadrat diketahui titik baliknya P(p , q), maka persamaannya adalah f(x) = a(x – p)² + q

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

01. Tentukanalah persamaan fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum P(3, –6) dan melalui titik (5, 2)
Jawab
y = a(x – p)² + q
y = a(x – 3)² + (–6)
y = a(x² – 6x + 9) – 6
Melalui titik (5, 2) maka:
2 = a(5² – 6(5) + 9) – 6
2 + 6 = a(25 – 30 + 9)
8 = a(4) sehingga a = 2
Jadi
y = 2(x² – 6x + 9) – 6
y = 2x² – 12x + 12

02. Tentukanalah persamaan fungsi kuadrat jika titik potongnya dengan sumbu-X adalah A(4, 0) dan B(–2, 0) serta melalui titik (2, –8)
Jawab
y = a(x – x1)( x – x2)
y = a(x – 4)(x – (–2))
y = a(x – 4)(x + 2)
y = a(x² – 2x – 8)
Melalui titik (2, –8) maka :
–8 = a((2)² – 2(2) – 8)
–8 = a(4 – 4 – 8)
–8 = a(–8) sehingga a = 1
Jadi
y = 1(x² – 2x – 8)
y = x² – 2x – 8

03. Tentukanlah nilai m agar fungsi kuadrat y = mx² + (2m + 1) x + (m + 2) menyinggung sumbu-X
Jawab
Syarat menyinggung : D = 0
b² – 4ac = 0
(2m + 1)² – 4(m)(m + 2) = 0
4m² + 4m + 1 – 4m² – 8m = 0
–4m + 1 = 0
m = 1/4