Persamaan Garis Singgung Kurva

Persamaan garis singgung kurva y = f(x) dititik T(x1, y1) dirumuskan sebagai
y – y1 = m(x – x1)
dimana m = f’(x1).

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

01. Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = 5x² – 8x + 4 di titikT(2, 8)
Jawab
Titik singgung di T(2, 8), maka x1 = 2
Maka
m = f’(x1)
m = 10x1 – 8
m = 10(2) – 8
m = 12

02. Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x) = x³ – 6x² + 4x + 11 di titikT(3, –4)
Jawab
Titik singgung di T(3, –4), maka x1 = 3 dan y1 = –4, sehingga
m = f’(x1)
m = 3x² –  12x + 4
m = 3(3)² –  12(3) + 4
m = 27 – 36 + 4
m = –5
Jadi
y – (–4) = –5(x – 3)
y + 4 = –5x + 15
y = –5x + 15 – 4
y = –5x + 11

03. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva f(x) = 2x³ – 4x² di titik berabsis 2
Jawab
Diketahui x1 = 2 maka y1 = 2(2)3 – 4(2)2 = 16 – 16 = 0 sehingga
m = f’(x1)
m = 3x² – 8x
m = 3(2)² – 8(2)
m = 24 – 16
m = 8
Jadi
y – 0 = 8(x – 2)
y = 8x – 16

04. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x2 – 5x + 6 jika gradien garis singgungnya adalah 3
Jawab
Diketahui f(x) = x² – 5x + 6.
Jika m = 3 maka m = f ‘(x1) = 2x1 – 5
3 = 2x1 – 5
8 = 2x1 Jadi x1 = 4
y1 = (4)² – 5(4) + 6 = 16 – 20 + 6 = 2
Sehingga y – y1 = m(x – x1)
y – 2 = 3(x – 4)
y – 2 = 3x – 12
y = 3x – 12 + 2
y = 3x – 10

05. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x³ – 3x² – 5x + 10 jika gradien garis singgungnya adalah 4
Jawab
Diketahui f(x) = x³ – 3x² – 5x + 10.
Jika m = 4 maka m = f ‘(x) = 3x² – 6x – 5
4 = 3x² – 6x – 5
0 = 3x² – 6x – 9
0 = x² – 2x – 3
0 = (x – 3)( x + 2) Jadi x1 = 3 atau x2 = –2
y1 = (3)³ – 3(3)² – 5(3) + 10 = 27 – 27 – 15 + 10 = –5
y2 = (–2)³ – 3(–2)² – 5(–2) + 10 = –8 – 12 + 10 + 10 = 0
Sehingga terdapat dua garis singgung, yakni :
PGS pertama
y – y1 = m(x – x1)
y – (–5) = 4(x – 3)
y = 4x – 17

PGS Kedua
y – y2 = m(x – x2)
y – 0 = 4(x – (–2))
y = 4x + 8

06. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x² – 6x + 2 dititik yang berordinat –3
Jawab
Diketahui y = –3, maka –3 = x² – 6x + 2
0 = x² – 6x + 5
0 = (x – 5)(x – 1)
x1 = 5 atau x2 = 1

Graddiennya : f ‘(x) = 2x – 6
m1 = 2(5) – 6 = 4
m2 = 2(1) – 6 = –4
Sehingga terdapat dua garis singgung, yakni :
PGS pertama
y – y1 = m(x – x1)
y – (–3) = 4(x – 5)
y + 3 = 4x – 20
y = 4x – 23

PGS kedua
y – y2 = m(x – x2)
y – (–3) = –4(x – 1)
 y + 3 = –4x + 4
y = –4x + 1