Pernyataan Berkuantor

Terdapat dua macam kuantor, yakni kuantor universal dam kuantor eksistensial.
(1) Kuantor universal
Simbol :
∀x ϵ S , P(x)
Dibaca :Untuk setiap x anggota S berlaku P(x)
(2) Kuantor Eksitensial
Simbol :
Ǝx ϵ S , P(x)

Dibaca :terdapat x anggota S berlaku P(x)

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

01. Tentukanlah nilai kebenaran untuk setiap pernyataan berkuantor berikut ini :
(a) Untuk setiap x bilangan positip berlaku 2x – 6 adalah bilangan positip
(b) Untuk setiap x bilangan prima berlaku x + 1 adalah bilangan genap
(c) Setiap segitiga sama sisi adalah segitiga sama kaki
(d) Terdapat x dan y bilangan bulat sehingga berlaku x + y habis dibagi 3
(e) Semua ikan di laut bernapas dengan insang
(f) Ada balok yang bersisi delapan

Jawab
(a) Pernyataan salah
Karena kalau x = 1 maka tidak memenuhi 2x – 6 bilangan positip

(b) Pernyataan salah
Karena kalau x = 2 maka tidak memenuhi x + 1 bilangan genap

(c) Pernyataan Benar
Karena pada segitiga sama sisi pasti terdapat dua sisi yang sama panjang

(d) Pernyataan Benar
Karena jika x = 5 dan y = 7, maka x + y habis dibagi 3

(e) Pernyataan Salah
Karena ada ikan yang bernapas dengan paru-paru, yakni ikan paus

(f) Pernyataan Salah
Karena semua balok bersisi enam

02. Tentukanlah nilai kebenaran untuk setiap pernyataan berkuantor berikut ini :
(a) ∀ x ϵ bil. Real Ǝ y ϵ bil. Real sehingga x + y = 8
(b) ∀ x ϵ bil. asli genap Ǝ y ϵ bil. asli ganjil maka 2x – 6y > 0
(c) ∀ x ϵ bil. genap ∀ y ϵ bil. ganjil berlaku x.y bilangan genap
(d) ∀ x ϵ bil. prima ∀ y ϵ bil. prima sehingga x + y bil. genap
(e) Ǝ x ϵ bil. kelipatan 3 Ǝ y ϵ bil. kelipatan 4 sehingga x + y kelipatan 5

Jawab
(a) Pernyataan Benar
Karena berapapun bilangan x diambil pasti akan ditemukan bilangan y sehingga x + y = 8

(b) Pernyataan salah
Karena Jika x = 2 maka tidak akan ditemukan bilangan asli ganjil y, sehingga 2x – 6y > 0

(c) Pernyataan Benar
Karena bilangan genap sembarang dikali bilangan ganjil sembarang pastilah menghasilkan bilangan ganjil

(d) Pernyataan salah
Karena Jika x = 2 dan y = 5 maka x + y = 7 bukan bilangan genap

(e) Pernyataan Benar
Karena Ambil x = 9 dan y = 16 maka x + y = 25 adalah kelipatan 5

Negasi dari pernyataan berkuantor

Kuantor universal : ∀x ϵ  S P(x) negasinya Ǝx ϵ S , –P(x)
Dalam bentuk kalimat, ditulis :
Untuk sembarang x anggota S berlaku P(x) negasinya : terdapat x anggota S sehingga berlaku tidak benar bahwa P(x)

Kuantor eksistensial : Ǝx ϵ S  P(x) negasinya  ∀x ϵ  S , –P(x)
Dalam bentuk kalimat, ditulis :
terdapat x anggota S sehingga berlaku P(x) negasinya : Untuk sembarang x anggota S berlaku tidak benar bahwa P(x)

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

03. Tentukanlah negasi dari setiap pernyataan berkuantor berikut ini :
(a) Semua bola bentuknya bulat
(b) Semua bilangan prima tidak habis dibagi 4
(c) Ada siswa SMAN 2 Bengkulu yang tidak lulus ujian nasional
(d) Ada hewan berkaki empat yang berkembang biak dengan bertelur

Jawab
(a) Semua bola bentuknya bulat
Negasinya : Ada bola yang bentuknya tidak bulat

(b) Semua bilangan prima tidak habis dibagi 4
Negasinya : Ada bilangan prima yang habis dibagi 4

(c) Ada siswa SMAN 2 Bengkulu yang tidak lulus ujian nasional
Negasinya : Semua siswa SMAN 2 Bengkulu lulus ujian nasional

(d) Beberapa hewan berkaki empat berkembang biak dengan bertelur
Negasinya : Semua hewan berkaki empat tidak berkembang biak dengan bertelur

04. Tentukanlah negasi dari setiap pernyataan berkuantor berikut ini :
(a) Beberapa siswa SMAN 2 Bengkulu membawa peralatan olahraga dan perlengkapan drumband
(b) Semua artis film adalah pernyanyi atau presenter TV
(c) Untuk sembarang x bilangan genap berlaku jika x habis dibagi 3 maka x adalah kelipatan 6

Jawab
(a) Beberapa siswa SMAN 2 Bengkulu membawa peralatan olahraga dan perlengkapan drumband
Ǝx ϵ S, p(x) Ʌ q(x) negasinya ∀x ϵ  S , –p(x) V –q(x)
Sehingga dalam bentuk kalimat berbunyi :
Semua siswa SMAN 2 Bengkulu tidak membawa peralatan olahraga atau tidak membawa perlengkapan drumband

(b) Semua artis film adalah pernyanyi atau presenter TV 
∀x ϵ  S, p(x) V q(x) negasinya Ǝx ϵ S , –p(x) Ʌ –q(x)
Sehingga dalam bentuk kalimat berbunyi :
Beberapa artis film adalah bukan pernyanyi dan bukan presenter TV

(c) Untuk sembarang x bilangan genap berlaku jika x habis dibagi 3 maka x adalah kelipatan 6
∀x ϵ  S, p(x) → q(x) negasinya Ǝx ϵ S , p(x) Ʌ –q(x)
Sehingga dalam bentuk kalimat berbunyi :
Terdapat x bilangan genap sehingga berlaku x habis dibagi 3 tetapi x bukan kelipatan 6