Komposisi Fungsi

Kompoisi dari f dan g didefinisikan : (f o g)(x) = f [ g(x) ] dan (g o f)(x) = g [ f(x) ]
Jika digambarkan dalam diagram panah menjadi

Adapun penjelasan tentang tata cara menentukan hasil akhir dari komposisi fungsi akan diuraikan pada contoh soal berikut ini

01. Misalkan f = {(1, 4), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} dan g = {(1, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 3)}, maka tentukanlah :
(a) f o g                                   (b) g o f

Jawab
(a) f o g = f [ g ]
              = f [ (1, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 3) ]
              = {(1, 2)→(2, 3), (2, 4)→(4, 2), (3, 1)→(1, 4), (4, 3)→(3, 1)}
              = {(1, 3), (2, 2), (3, 4), (4, 1)}
(b) g o f = g [ f ]
              = g [(1, 4), (2, 3), (3, 1), (4, 2) ]
              = {(1, 4)→(4, 3), (2, 3)→(3, 1), (3, 1)→(1, 2), (4, 2)→(2, 4)}
              = {(1, 3), (2, 1), (3, 2), (4, 4)}

02. Diketahui dua fungsi f(x) = 2x – 1 dan g(x) = x² – 3x + 5. Tentukanlah hasil dari :
(a) (f o g)(x)                        (b) (g o f)(x)

Jawab
(a) (f o g)(x) = f [ g(x) ]
                     = f [x² – 3x + 5]
                     = 2(x² – 3x + 5) – 1
                     = 2x² – 6x + 10 – 1
                     = 2x² – 6x + 9
(b) (g o f)(x) = g [ f(x) ]
                     = g [2x – 1]
                     = (2x – 1)² – 3(2x – 1) + 5
                     = 4x² – 4x + 1 – 6x + 3 + 5
                     = 4x² – 10x + 9

04. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 3. Tentukanlah hasil dari (f o f o f)(x)
Jawab
(f o f o f)(x) = f { f [ f(x) ] }
                    = f { f [ 2x + 3 ] }
                    = f { 2(2x + 3) + 3] }
                    = f { 4x + 6 + 3 }
                    = f { 4x + 9 }
                    = 2(4x + 9) + 3
                    = 8x + 18 + 3
                    = 8x + 21

05. Diketahui dua fungsi f(x) = x2 – 5x + 4 dan g(x) = x² + 3x –6. Tentukanlah nilai
      (a) (f o g)(2)                             (b) (g o f)(3)
Jawab
(a) (f o g)(2) = f [ g(2) ]
                     = f [(2)2 + 3(2) – 6]
                     = f [4 + 6 – 6]
                     = f [4]
                     = (4)² – 5(4) + 4
                     = 16 – 20 + 4
                     = 0
(b) (g o f)(3) = g [ f(3) ]
                     = g [(3)2 – 5(3) + 4]
                     = g [9 – 15 + 4]
                     = g [–2]
                     = (–2)2 + 3(–2) – 6
                     = 4 – 6 – 6
                     = –8

Dari uraian di atas dapat ditentukan beberapa sifat komposisi fungsi, yakni
(1) Komposisi fungsi tidak komutatif, artinya : g o f ≠ f o g
(2) Komposisi fungsi bersifat asosiatif, artinya : f o [ g o h ] = [ f o g ] o h

Selanjutnya, kita dapat menentukan komponen fungsi komposisi jika hasil akhir komposisinya diketahui. Untuk penjelasan selengkapnya akan diuraikan pada contoh soal berikut ini :

06. Diketahui f(x) = 2x2 – 4x + 5 maka tentukanlah f(x + 3)
Jawab
f(x) = 2x² – 4x + 5
maka f(x + 3) = 2(x + 3)2 – 4(x + 3) + 5
f(x + 3) = 2(x² + 6x + 9) – 4x – 12 + 5
f(x + 3) = 2x² + 12x + 18 – 4x – 12 + 5
f(x + 3) = 2x² + 8x + 11

07. Diketahui f(x – 2) = x² + 5x – 3 maka tentukanlah f(x)
Jawab
f(x – 2) = x² + 5x – 3
Misalkan x – 2 = m maka x = m + 2
sehingga f(m) = (m + 2)² + 5(m + 2) – 3
f(m) = m² + 4m + 4 + 5m + 10 – 3
f(m) = m² + 9m + 11
Jadi f(x) = x² + 9x + 11

08. Diketahui f(2x + 3) = 4x² – 8x + 5 maka tentukanlah f(x)
Jawab
f(2x + 3) = 4x² – 8x + 5

09. Diketahui (f o h)(x) = 2x² – 4x – 3 dan h(x) = x + 3 maka tentukanlah f(x)
Jawab
(f o h)(x) = 2x² – 4x – 3
f [ h(x) ] = 2x² – 4x – 3
f [x + 3] = 2x² – 4x – 3
Karena x + 3 = h maka x = h – 3
sehingga f(h) = 2(h – 3)² – 4(h – 3) – 3
f(h) = 2(h² – 6h + 9) – 4(h – 3) – 3
f(h) = 2h² – 12h + 18 – 4h + 12 – 3
f(h) = 2h² – 16h + 27
Jadi f(x) = 2x² – 16x + 27

10. Diketahui (f o h)(x) = 4x² + 6x – 5 dan f(x) = 2x – 1 maka tentukanlah h(x)
Jawab
(f o h)(x) = 4x² + 6x – 5
f [ h(x) ] = 4x² + 6x – 5
2.h(x) – 1 = 2x² – 4x – 3
2.h(x) = 2x² – 4x – 3 + 1
2.h(x) = 2x² – 4x – 2
h(x) = x² – 2x – 1

12. Diketahui (f o g)(x) = 2x² – 6x + 7 dan g(x) = x² – 3x + 4 maka tentukanlah f(x)
Jawab
(f o g)(x) = 2x² – 6x + 7
f [ g(x) ] = 2x² – 6x + 7
f (x² – 3x + 4) = 2x² – 6x + 7

Misalkan m = x² – 3x + 4 maka 2m = 2x² – 6x + 8
2m – 1 = 2x² – 6x + 8 – 1
2m – 1 = 2x² – 6x + 7
sehingga f(m) = 2m – 1
Jadi f(x) = 2x – 1

13. Diketahui (f o g)(x) = 4x² – 12x + 18 dan g(x) = x² + 3x + 5, maka tentukanlah fungsi f(x)
Jawab
(f o g)(x) = 4x² – 12x + 18
f [ g(x) ] = 4x² – 12x + 18
f (x² + 3x + 5) = 4x² – 12x + 18

Misalkan m = x² + 3x + 5 maka 4m = 4x² + 12x + 20
4m – 2 = 2x² – 6x + 20 – 2
4m – 2 = 2x² – 6x + 18
sehingga f(m) = 4m – 2
Jadi f(x) = 4x – 2