Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Misalkan A = {x│ a < x < b } maka berlaku
(1) Jika f(x) adalah fungsi naik pada interval A maka f’(x) > 0, untuk setiap x ϵ A
(2) Jika f(x) adalah fungsi turun pada interval A maka f’(x) < 0, untuksetiap x ϵ A
(3) Jika f(x) adalah fungsi tidak naik pada interval A maka f’(x) ≤ 0, untuksetiap x ϵ A
(4) Jika f(x) adalah fungsi tidak turun pada interval A maka f’(x) ≥ 0,untuksetiap x ϵ  A
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini

01. Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi f(x) = 3x² – 12x + 5
Jawab
f(x) = 3x² – 12x + 5
f’(x) = 6x – 12
maka
f’(x) = 0
6x – 12 = 0
6x = 12
x = 2

Uji x = 0 maka f’(0) = 6(0) – 12 = –12 < 0
Uji x = 4 maka f’(4) = 6(4) – 12 = 12 > 0
sehingga : Interval turun pada x > 2
Interval naik pada x > 2

02. Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi f(x) = 9 + 2x – 4x²
Jawab
f(x) = 9 + 2x – 4x²
f’(x) = 2 – 8x
maka
f’(x) = 2 – 8x
2 – 8x = 0
–8x = –2
x = 1/4

Uji x = 0 maka f’(0) = 2 – 8(0) = 2 > 0
Uji x = 2 maka f’(2) = 2 – 8(2) = –14 < 0
sehingga :
Interval naik pada x < 1/4
Interval turun pada x > 1/4

03. Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi f(x) = x³ + 3x² – 45x + 10
Jawab
f(x) = x³ + 3x² – 45x + 10
f’(x) = 3x² + 6x – 45
maka
f’(x) = 3x² + 6x – 45
3x² + 6x – 45 = 0
x² + 2x – 15 = 0
(x + 5)(x – 3) = 0
x1 = –5 dan x1 = 3

Uji x = –10 maka f’(–10) = 3(–10)2 + 6(–10) – 45 = 195 > 0
Uji x = 0 maka f’(0) = 3(0)2 + 6(0) – 45 = –45 < 0
Uji x = 5 maka f’(5) = 3(5)2 + 6(5) – 45 = –14 > 0
sehingga : Interval naik pada x < –5 atau x > 3
Interval turun pada –5 < x < 3

Jika titik T(x1, y1) pada kurva y = f(x) dikatakan titik stasioner maka f’(x) = 0
Terdapat tiga macam titik stasioner, yaitu:

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini:

01. Tentukanlah titik stasioner dan jenisnya untuk fungsi f(x) = x² – 6x + 5
Jawab
f(x) = x² – 6x + 5
f’(x) = 2x – 6
maka
f’(x) = 2x – 6 = 0
2x = 6
Jadi x = 3 y = (3)² – 6(3) + 5 = –4 Titiknya (3, –4)

Uji x = 1 maka f’(1) = 2(1) – 6 = –4 < 0
Uji x = 4 maka f’(4) = 2(4) – 6 = 2 > 0
sehingga : Titik (3, –4) adalah titik minimum stasioner

02. Tentukanlah titik stasioner dan jenisnya untuk fungsi f(x) = x³ – 3x² – 9x + 10
Jawab
f(x) = x³ – 3x² – 9x + 10
f’(x) = 3x² – 6x – 9
maka
f’(x) = 3x² – 6x – 9 = 0
x² – 2x – 3 =0
(x – 3)(x + 1) = 0
Jadi x = 3 y = (3)³ – 3(3)² – 9(3) + 10 = –17 Titiknya (3, –17)
x = –1 y = (–1)³ – 3(–1)² – 9(–1) + 10 = 15 Titiknya (–1, 15)

Uji x = –2 maka f’(–2) = 3(–2)² – 6(–2) – 9 = 15 > 0
Uji x = 0 maka f’(1) = 3(0)² – 6(0) – 9 = –9 < 0
Uji x = 4 maka f’(4) = 3(4)² – 6(4) – 9 = 15 > 0
sehingga :
Titik (3, –17) adalah titik maksimum stasioner
Titik ((–1, 15) adalah titik minimum stasioner

03. Tentukanlah titik stasioner dan jenisnya untuk fungsi f(x) = x³ – 6x² + 12x + 6
Jawab
f(x) = x³ – 6x² + 12x + 6
f’(x) = 3x² – 12x + 12
maka f’(x) = 3x² – 12x + 12 = 0
x² – 4x + 4 =0
(x – 2)(x – 2) = 0
Jadi x = 2 y = (2)³ – 6(2)² + 12(2) + 6 = 14
Titiknya (2, 14)

Uji x = 0 maka f’(0) = 3(0)² – 12(0) + 12 = 12 > 0

Uji x = 4 maka f’(4) = 3(4)² – 12(4) + 12 = 12 > 0

sehingga : Titik (2, 14) adalah titik belok stasioner

Misalkan A = {x│ a < x <b }makaberlaku
(1) Fungsi f dikatakan cekung ke atas dalam interval A jika f”(x) > 0, untuk setiap x ϵ A. Dalam hal ini garis singgung f(x) disetiap titik pada interval A berada dibawah kurva

(2) Fungsi f dikatakan cekung ke bawah dalam interval A jika f”(x) < 0, untuk setiap x ϵ A. Dalam hal ini garis singgung f(x) disetiap titik pada interval A berada diatas kurva
 

Suatu titik T(x1, y1) pada kurva y = f(x) dikatakan titik belok kurva jika f”(x1) = 0 atau f”(x1) tidak ada serta berlaku

Sebagai contoh akan diuraikan pada soal berikut ini :

01. Diketahui fungsi f(x) = x³ – 6x² + 4x – 5. Tentukanlah :
(a) interval fungsi naik dan turun
(b) Koordinat titik stasioner
(c) Interval cekung atas dan cekung bawah
(d) Koordinat titik beloknya
Jawab
f(x) = x³ – 6x² + 9x – 5
f’(x) = 3x² – 12x + 9
f’’(x) = 6x –12
sehingga
(a) Interval naik dan turun
f’(x) = 0
3x² – 12x + 9 = 0
x² – 4x + 3 = 0
(x – 1)(x – 3) = 0 maka x = 1 dan x = 3

Uji : x = 0 maka f’(0) = 3(0)² – 12(0) + 9 = 9 > 0 (fungsi naik)
Uji : x = 2 maka f’(2) = 3(2)² – 12(2) + 9 = –3 < 0 (fungsi turun)
Uji : x = 4 maka f’(4) = 3(4)² – 12(4) + 9 = 9 > 0 (fungsi naik)
Sehingga
interval fungsi naik pada x < 1 atau x > 3
interval fungsi turun pada 1 < x < 3

(b) Titik stasioner adalah :
x = 1 maka f(1) = (1)³ – 6(1)² + 9(1) – 5 = –1 , Titik maksimum di (1, –1)
x = 3 maka f(3) = (3)³ – 6(3)² + 9(3) – 5 = –5 , Titik minimum di (3, –5)

(c) Interval cekung atas dan bawah
f’’(x) = 0
6x –12 = 0
6x = 12 maka x = 2

Uji : x = 0 maka f’’(0) = 6(0) – 12 = –12 < 0 (cekung bawah)
Uji : x = 4 maka f’’(4) = 6(4) – 12 = 12 > 0 (cekung atas)
Jadi interval cekung bawah x < 2 dan interval cekung atas x > 2

(d) Koordinat titik beloknya :
x = 2 maka f(2) = (2)³ – 6(2)² + 9(2) – 5 = –3 , Titiknya (2, –3)